minos per cápita.
Kt
Lt
Lt
)
f (kt) w (r
Decisión de inversión de la empresa:
Máx :
)kt
f (kt) w (r
C.P.O :
0
(II)
r
f (kt)
kt
Decisión de contratación de la empresa:
Máx :
)Kt
(r
Lt f (kt) wLt
C.P.O :
0
0
w
f kt
kt Lt
Lt
f (kt)
Lt
w
1
Lt
Lt f (kt)kt
f (kt)
(III)
w
f (kt)kt
f (kt)
Al igual que vimos en el modelo de Solow – Swan, en una economía cerrada la
inversión es igual al ahorro, por eso en esta economía se tiene que cumplir que la
cantidad de capital que compran las empresas que denotamos por kt es igual al
ahorro de las familias que es igual a bt. Así, teniendo en cuenta que ahorro es igual
a inversión la ecuación que describe el comportamiento del capital per-capita es la
siguiente:
(IV)
(r
n)kt
w ct
kt
Que se obtiene de reemplazar bt por kt en la restricción presupuestaria de las
familias.
5
Sustituyendo la ecuación (III) en la (IV) nos queda lo siguiente:
(V)
(r
n)kt
ct
f (kt)kt
f (kt)
kt
Sustituyendo la ecuación (II) en la ecuación (V):
kt
(n
f (kt) ct
)kt , Ley de evolución del capital per cápita
El problema de la convergencia
Esto se refiere a que en esta economía se va maximizar la función de utilidad social
a través del tiempo.
Máx :
dt
J
0
U(ct)
e t
Si consideramos a la población.
La Población
Sea que la población que tenga una tasa de crecimiento exógena y constante: n
t
P
P.ent
0
1
(
Si P0)
t
ent
P
Sea que la fuerza de trabajo agregada Lt , crezca a una tasa constante exógena:n
Loent
Lt
Demostración que la tasa de crecimiento es constante, tenemos:
Lt
dLt
dt
nL(0)ent, dividiendo esta ecuación entre Lt , tenemos:
n
Lt
Lt
nL(0)ent
L(0)ent
1
Si L(0)
ent
Lt
Se asume que toda la población trabaja, luego se incorpora la población a la función
“J ”.
Máx :
J
0
U(ct)Lte tdt
t
P
Reemplazando: Lt
6
Máx :
J
0
U(ct)ent.e tdt
Máx :
dt
J
n)t
(
U(ct).e
0
Esta sociedad maximiza su utilidad a través del tiempo. En esta sociedad cada
individuo busca su propio interés y sin proponérselo de ante mano, busca maximizar
la función de bienestar general a través del tiempo, para ello busca determinar la
trayectoria general optima del consumo por trabajador a través del tiempo.
Planteamiento del problema
Máx :
dt
J
0
n)t
(
U(ct).e
(Función Objetivo)
s.a :
kt
)kt
(n
f (kt) ct
(Ecuación de Movimiento)
k(t0)
(Condición Inicial)
0: Dado
k0
k0
0
f (kt)
ct
t
0
Para solucionar el problema se debe cumplir que:
n es decir que la tasa de
descuento tiene que ser mayor que la tasa de crecimiento de la población.
1) Comenzaremos a solucionar el problema de control optimo por el método que
nos dejo Pontryagin, que se basa en la metodología del Hamiltoniano, para esto
pasaremos a plantear el hamiltoniano.
t
)kt
(n
f (kk) ct
U(ct).e
H(ct,kt, t,t)
n).t
(
Donde
kt : Variable de estado.
ct : Variable de control.
t: Variable de coestado.
Condición de Primer Orden (CIO)
2) Tomando la derivada del Hamiltoniano con respecto de la variable de control e
igualándolo a cero.
0
t
ct
Ut
ct
H
ct
0
( 1)
(
t
n)t
.U (ct)
e
H
ct
(I)
t
U (ct)
e( n)t
Valor actual de la utilidad = Multiplicador Dinámico
H
7
3) Tomando la derivada del Hamiltoniano con respecto a la variable de estado y
imponiendo la igualdad al negativo de la derivada del multiplicador con respecto
al tiempo.
t
H
kt
t
t
)
f (kt) (n
)
(II)
t
f (kt) (n
t
4) Tomando la derivada con respecto al multiplicado lagrangiano, tenemos:
kt
H
kt
kt
)
(n
f (kt) ct
)
(III)
(n
kt
f (kt) ct
Condición de Segundo Orden (CIIO)
0
.
(
n)t
t
U (ct)
e
2
c2
>0
x 0<
Esta condición nos asegura un consumo máximo y La concavidad del consumo.
5) La condición de transversalidad-multiplica la variable de estado por el precio
implícito de capital (multiplicador de Lagrange) en el momento terminal y pone
igual a cero.
Condición de Transversalidad
Esto quiere decir que
t
Lím tkt
0
t
0 (el precio implícito de capital en el periodo final) o que
kt
0 (el stock de capital en el momento que muere).
0
(1/ )
(
1
n)
e
Lím t
t
0
Lím t
t
g
g
)
Pmgk (n
)
De la ecuación (II) tenemos f (kt) (n
Aplicando logaritmo neperiano a la ecuación (I) tenemos:
dU (ct) ct
Notas de Crecimiento Económico
8
César Antúnez. I
1
t
ln
n)t.lne lnU (ct)
(
t
ln
n)t lnU (cy)
(
Aplicando la derivada temporal (derivada con respecto a “t”) a la ecuación tenemos:
dt
dt
d(ln t)
dt
d lnU (ct)
dt
n.
(
t
t
ct dt
.
.
1
U (ct)
n)
(
t
t
U (ct).ct
.
1
U (ct)
n)
(
A la ecuación anterior multiplicaremos y dividiremos entre el consumo por trabajador
(ct )
t
t
1 ct
U (ct). .
ct ct
.
1
U (ct)
n)
(
( )
.
(
t
t
ct
ct
n)
Donde
1
ct
.U (ct).
1
U (ct)
: Representa la elasticidad de la utilidad marginal con respecto al
consumo por trabajador.
Multiplicando por -1 a ala ecuación ( ), tenemos:
.
(
(IV)
n)
t
t
ct
ct
Igualando las ecuación (II) con la ecuación (IV)
t
t
ct
ct
.
n)
(
)
f (kt) (n
Despejando
ct
ct
, tenemos:
)
f (kt) (
ct
ct
(V) , La proposición Ramsey – Keynes
9
Esta ecuación nos dice que la tasa óptima del consumo por trabajador es la razón
del producto marginal del capital menos la tasa de depreciación y la tasa de
descuento intertemporal dividido sobre la elasticidad de la utilidad marginal con
respecto al consumo por trabajador.
1
c
f (kt) (
) : Evolución del consumo por unidad de trabajo efectivo.
1
(VI)
) ct
f (kt) (
Así mismo se puede expresar la ecuación como: ct
Sistema de Ecuaciones Diferenciales (Diagrama de fases)
Existen dos ecuaciones diferenciales que nos ayudan a graficar el diagrama de
fases de este modelo son:
1er Ecuación diferencial: kt
)kt
(n
f (kt) ct
2da Ecuación diferencial: ct
) ct
f (kt) (
1
0
Encontrando la curva: k
De la 1er Ecuación diferencial
0
Si kt
)kt
(n
f (kt) ct
0
Entonces ct
)kt
f (kt) (n
0
Gráfico Nº 2: Comportamiento de k
Si nos situamos por encima de la curva kt
de ct irá asociada a una disminución de kt
0, vemos que un pequeño movimiento
0. Dado que la 1er Ecuación diferencial,
donde el consumo aparece con signo negativo, entonces concluimos que por encima
de la kt
0, el capital decrece kt
0. Denotamos el movimiento de flechas así la
izquierda, tal como aparece en el gráfico Nº 2. Las flechas se dirigen en forma
horizontal por que en el eje horizontal aparece kt .
Derivando la primera ecuación diferencial con respecto a ct se obtiene:
1 0
d kt
dct
Donde se demuestra que al aumentar el valor de ct disminuye el valor de kt
De la misma manera analizaremos que pasa si ubicamos un vector por debajo de la
curva kt
0, las flechas apuntan así la derecha, diciéndonos que por debajo de la
0, el capital crece kt
0 , en este caso las flechas apuntan hacia la
curva kt
derecha.
0
Encontrando la curva: c
De la 2da ecuación diferencial
0
Si ct
)
0
f (kt) (
ct
)
(
Entonces f (kt)
(
Pmgk
), Representa la ecuación de una recta que es paralela al eje de
ordenadas
0
Gráfico Nº 3: Comportamiento de c
Esto quiere decir si nos encontramos por encima de la curva ct
0, por un aumento
de un poquito de kt , Dado que f (kt) es una función creciente, por lo que el valor de
c de la 2da Ecuación diferencial pasa hacer negativo ct
0. Concluimos que a la
10
11
derecha de la curva, el consumo decrece, por lo que se dibuja las flechas apuntando
hacia abajo.
Para demostrar esto pasaremos a derivar la segunda ecuación con respecto a kt
0
.
U (ct).f (k)
1
U (ct)
d ct
dkt
Lo que nos dice que a la derecha de ct
0
0 será ct
De la misma manera una disminución de kt hará que ct
0 sea positivo. Esto
significa que nos encontramos a la izquierda de ct
0, las flechas apuntarán hacia
arriba como se aprecia en el gráfico Nº 3, donde las flechas positivas se denota por
ct
0.
Análisis Cualitativo
Ahora antes de juntar los dos diagramas de fases en un solo pasaremos a hallar el
Oro
de los agentes de la sociedad en su conjunto y también se tendrá un nuevo capital
por trabajador modificado con en nuevo consumo.
Para esto de la 2da Ecuación diferencial ct
f (kt) (
1
) ct , reemplazando el
valor de ct
0, con esto 0
f (kt) (
(
) , entonces f (kt)
) es el punto de
1
tangencia de la función f (kt) que es estrictamente decreciente y como se puede
apreciar en el gráfico Nº 4. La función f (kt) es estrictamente de creciente y
convexa. Al cortarse estas la tangencia con la función generan un punto que se
Oro
Oro
En el caso de una función Cobb-Douglas, nos da un capital por trabajador de oro
1
A
modificado óptimo k
Oro
mod
.
Oro
stock de capital por trabajador hallado es menor que el stock de capital de oro y eso
es por que
n y f (kt) es una función decreciente.
12
Gráfico Nº 4: El consumo de Oro óptimo modificado
Estado de crecimiento proporcionado
El estado de crecimiento proporcionado, se halla cuando las curvas ct
0
0 y kt
se cruzan y esto se puede observar en el grafico Nº 5, que se curtan en tres puntos.
El primer punto que esta representado por de un sol de color naranja, es el eje de
coordenadas donde ct
0 y kt
0.
kmod, que corresponde a la
kmod
f (kmod)
kmod
ymod
13
El segundo punto que representa al estado proporcionado, que esta representado
por un sol de color verde fosforescente, es el punto
Oro
intersección de kt
0, de la 1er Ecuación diferencial kt
(n
f (kt) ct
)kt,
reemplazando
0
kt
y
0
ct
obtenemos
el
capital
Oro
que
satisface
Oro
(n
)kt , donde este capital esta a la derecha del capital máximo.
El tercer punto es en la intersección de kt
0 y k1t en este punto esta representado
en el grafico con un solo de color amarillo. El capital en este punto en el largo plazo
esta economía converge necesariamente a un estado de proporcionado que
conlleva a cantidades positivas del consumo.
En el estado proporcionado es una situación en que las variables per cápita crecen a
una tasa constante. Se describe el comportamiento del consumo, para que el
consumo crezca una tasa constante el capital tiene que ser siempre el mismo:
c
1
kt
cte si y solo si, kt
lo que implica que
0
k
El stock de capital no cambie se tiene que cumplir que el consumo per cápita no
varíe.
k
1
ct
cte si y solo si, ct
lo que implica que
0
c
En el estado de crecimiento proporcionado:
k
0 y
0
c
Si
0
c
)
(1
Akt
1
1
A
Oro
Stock de capital del estado proporcionado
El PIB per capita de estado estacionario, se obtiene sustituyendo el capital de estado
proporcionado en la función de producción:
1
A
A
Oro
Producción en el estado proporcionado
Sabiendo que el consumo per cápita es la renta menos el ahorro, lo calculamos
como:
cmod
14
1
A
(1 s)A
Oro
Consumo per cápita en el estado proporcionado
Gráfico Nº 5: El equilibrio en el modelo de Ramsey
Dinámica de Crecimiento
La dinámica que esta representada por las flechas como se observa en el grafico Nº
5, donde en el origen existe un estado inestable, por que nunca llegamos a un
estado proporcionado.
El segundo estado proporcionado, k1t es estable en todas sus flechas que existen
alrededor apuntan hacia este punto.
Oro
de silla” en estado trayectoria llamamos “saddle paht stability” o “trayectoria estable”
que converge a un estado proporcionado. Este tercer punto también genera el punto
de silla, por que existen líneas aerodinámicas que convergen y divergen alrededor
del punto.
La dinámica de transmisión nos dice que si aumentara el consumo, el capital en el
Oro
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